MAPA – MAT – GEOMETRIA ANALITICA – 52_2025

MAPA – MAT – GEOMETRIA ANALITICA – 52_2025

O metano (CH₄) é um gás inodoro e invisível que tem mais de 80 vezes o poder de aquecimento do dióxido de carbono. O metano é o principal componente do gás que aquece nossas casas e alimenta nossos fogões, e é um dos principais subprodutos da perfuração de petróleo e gás.

Um corpo internacional de cientistas concluiu que a concentração de metano na atmosfera é maior agora do que em qualquer outro momento nos últimos 800 mil anos. Ele é responsável por até um terço do aquecimento global que o planeta experimentou até agora, conforme a Agência de Proteção Ambiental dos Estados Unidos (EPA).

Fonte: adaptado de: https://www.cnnbrasil.com.br/internacional. Acesso em: 11 fev. 2025.

Uma molécula de metano é constituída por um átomo de carbono e quatro átomos de hidrogênio. A geometria dessa molécula é a de um tetraedro regular, em que o átomo de carbono ocupa o centro do tetraedro e os átomos de hidrogênio ocupam, cada um, um dos vértices do tetraedro (são eles (1,0,0); (0,1,0); (0,0,1) e (1,1,1)), como ilustrado na figura a seguir:

Fonte: adaptada de: STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2013. v. 2.

Com base nessas informações, resolva os itens a seguir:

A) Use o produto escalar e prove que o ângulo formado pela ligação química H-C-H é de aproximadamente 109,5°.

B) Determine a equação geral do plano que contém os três átomos de hidrogênio, os quais estão alocados sobre três eixos coordenados, como ilustrado na figura precedente.

C) Determine uma equação paramétrica da reta que passa pelo átomo de carbono e pelo átomo de hidrogênio, cujas coordenadas são (1,1,1).