Olá, estudante! Seja bem-vindo à atividade MAPA da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral II. A presente atividade se encontra dividida em três partes, em que você será desafiado a resolver um mesmo exercício de duas formas diferentes

Olá, estudante!

Seja bem-vindo à atividade MAPA da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral II. A presente atividade se encontra dividida em três partes, em que você será desafiado a resolver um mesmo exercício de duas formas diferentes: a partir do cálculo da integral de linha para cada um dos caminhos e a partir do uso do Teorema de Green.

As integrais de linha sobre uma curva em um campo vetorial são uma ferramenta poderosa na análise matemática, frequentemente, aplicadas em Física e Engenharia para calcular trabalho, fluxo ou outras quantidades relacionadas ao movimento em sistemas dinâmicos. Quando consideramos um campo vetorial ao longo de uma curva em um plano bidimensional, por exemplo, as integrais de linha nos permitem calcular como o campo “se comporta” ao longo dessa curva específica.

O teorema de Green, formulado por George Green em 1828, estabelece uma relação fundamental entre integrais de linha e integrais duplas sobre uma região plana no plano xy. Em essência, o teorema de Green nos permite relacionar o comportamento local de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada com o comportamento global desse campo dentro da região limitada por essa curva.

Vamos à atividade:

a) Calcule a integral de linha do campo vetorial dado por F(x,y) = (-y.x) ao longo do triângulo de vértices A(1,1), B(-1,1) e C(0,1-), com orientação no sentido anti-horário Figura: Triângulo de vértices A(1,1), B(-1,1) e C(0,1-). Fonte: A autora (2024).

b) Calcule -ydx + xdy utilizando o Teorema de Green.

c) O que se pode concluir a respeito dos cálculos efetuados nas alternativas anteriores?